Cohomologie singulière

Introduction et Définitions

La cohomologie de betti ( ou singulière ) est la notion duale à l'homologie de Betti ( ou singulière ).

Pour un espace topologique \( X \), la définition de la cohomologie de Betti commence avec celle du complexe de chaine singulier : \[ \cdots \longrightarrow C_{i+1} \overset{\partial _{i+1}}{\longrightarrow } C_{i} \overset{\partial _{i} }{\longrightarrow } C_{i-1} \longrightarrow \ldots \] Et par définition l'homologie de Betti est l'homologie de ce complexe de chaines ci.

Fixons maintenant un groupe abélien \( A \), et remplacer chaque groupe \( C_{i} \) par son dual \[ C^{i} := C_{i}^{\vee} := \text{Hom}(C_{i}, A ) \] and \( \partial _{i} \) par son homomorphisme dual : \[ \partial^{i-1}: C^{i-1} \longrightarrow C^{i} \] Ceci a pour effet de renverser les flèches du complexe de chaines original pour en faire un complexe de cochaines : \[ \ldots \longleftarrow C^{i+1} \overset{\partial^{i} }{\longleftarrow } C^{i} \overset{\partial ^{i-1} }{\longleftarrow } C^{i-1} \overset{}{\longleftarrow } \cdots \]

Pour tout entier \( i \) le \( i \) ème groupe de cohomologie de Betti à coefficients dans \( A \) est le groupe quotient : \[ \text{Ker} \partial ^{i} / \text{Im} \partial ^{i-1} \] Que l'on denote : \[ H^{i}_{\text{B} }(X,A) := \bm{H}^{i}(C^{*} ) \]