Théorème de Kronecker

Enoncé du Théorème :

En algèbre ou plus particulièrement en tout ce qui concerne les groupes. le théorème de structure des groupes abéliens finis ou aussi appelé comme ici : Théorème de Kronecker donne une structure universelle à tout groupe abélien fini, en particulier il affirme qu'il doit être isomorphe à un produit direct de groupes cycliques. Démontré en 1870 par Leopold Kronecker il s'inspira de Ernst Schering qui , en 1868, l'avait demontré dans un cadre moins générale, et ce que Kronecker a réussi à faire avec sa démonstration. Il s'enonce ainsi :

Soit \( G \) : groupe abélien fini. \( \exists ! ( a_{i} ) \in \left( \mathbb{N} \backslash \{ 1 \} \right) ^{(k) } \) telle que \(G\) soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal égal aux différents termes de la suite: \[ G \simeq \prod_{i=1}^{k} \mathbb{Z} / a_{i}\mathbb{Z} \] \( \text{ et aussi } a_{i+1} \text{ divise } a_{i} \text{ pour tout entier } i \text{ entre } 1 \text{ et } k \text{ . } \)

Démonstration du Théorème ;

Lemme 1

\( \bullet \) Pour tout groupe abélien fini \( G \) d'exposant \( e \) , tout sous groupe cyclique d'ordre \( e \) de \( G \) est facteur direct dans \( G \) .

Démonstration du Lemme 1

Soit \( C \) un tel sous groupe. Raisonnons par récurrence sur le nombre minimal \( k \) d'éléments qu'il faut adjoindre à \( C \) pour engendré \( G \). Si \( k = 0 \) alors \( C = G \) , facteur direct de lui-meme. Supposons \( k \geq 1 \) , \( C \) engendré par \( g _{0} \) et \( G \) engendré par \( g _{0} , \ldots , g _{k} \) par hypothèse de récurrence, et \( C \) facteur direct dans le sous groupe \( G ' \) engendré par \( g _{0} , \ldots , g _{k-1} \) . Il existe donc un projecteur \( \varphi ' \) défini sur \( G ' \) dont l'image est \( C \) . Pour l'étendre en un projecteur \( \varphi \) défini sur \( G \), on pose : \[ \forall x \in G' \; \; \forall y \in \left< g_{k} \right> \; \; \varphi(x+y) = \varphi ' (x) + \varphi '' (y) , \] pour un morphisme \( \varphi'' : \left< g_{k} \right> \to C \) convenablement choisi. Plus précisement, la condition sur \( \varphi'' \) est que le \( \psi : G' \times \left< g_{k} \right> \to C \, , \, (x,y) \mapsto \varphi'(x) + \varphi '' (y) \) se factorise par \( + : G' \times \left< g_{k} \right> \to G \), pour que l'application \( \varphi \) soit bien définie sur \( G \) , ( \( \varphi \) sera alors un projecteur d'image \( C \) , donc \( G \) sera comme direct de \( C \) et du noyau de \( \varphi \) ) . La condition pour que \( \psi \) se factorise par \( + \) est qu'il s'annule sur le noyau de ce morphisme, c'est-à-dire sur l'ensemble des couples \( (h,-h) \) quand \( h \) parcourt le sous groupe \( H := G' \cap \left< g_{k} \right> \) , autrement dit : que \( \varphi '' \) coïncide sur \( H \) avec \( \varphi' \) . L'ordre de \( \left< g_{k} \right> \) divise celui de \( C \) donc un tel \( \varphi '' \) existe toujours, d'après le lemme suivant :

Lemme 2

\( \bullet \) soient \( e \text{ et } m \) deux entiers \( > 0 \) tels que \( m \) divise \( e \) , et \( H \) un sous groupe de groupe cyclique \( \mathbb{Z}_{m} \). Tout morphismes \( \rho : H \to \mathbb{Z}_{e} \) s'étend en un morphismes \( \rho ' : \mathbb{Z} _{m} \to \mathbb{Z}_{e} \) .

Démonstration du Lemme 2

\( \mathbb{Z}_{m} \) s'indentifiant à un sous groupe de \( \mathbb{Z}_{e} \) , il suffit d'étendre \( \rho \) à \( \mathbb{Z} _{e} \) . On peut donc supposer sans perte générale que \( m = e \) . Soit \( d \) l'ordre de \( H \) . Alors \( d \rho (H) = \rho ( dH ) = \rho(0) = 0 \) donc \( \rho (H ) \subset H \), autrement dit \( \rho \) est un endomorphisme du groupe cyclique \( H \), noté additivement. C'est donc simplement la multiplication par un certain entier. On peut alors définir \( \rho'\) sur \( \mathbb{Z} _ { e } \) comme la multilication par l'entier. Ce qui conclut la démonstration des deux lemmes .

Démonstration du théorème de Kronecker

Procédons par récurrence sur l'ordre \( n \) de \( G \).
Existence ;
Si \( n = 1 \) , la suite vide convient. Supposons \( n \geq 2 \) et aussi l'hyptothèse de récurrence. Soit \( G \) , \( n \) comme dans l'hypothèse et soit \( e \) son exposant. Alors \( G \) possède un sous groupe cyclique \( C_{1} \) d'ordre \( e \) et ,d'apres le Lemme 1 , un sous groupe \( K \) tel que \( G = C_{1} \times K \). L'hypothèse de récurrence montre que \( K \) est somme direct d'une suite de sous groupe cyclique \( C_{2} , \ldots , C_{k} \) telle que pour tout \( i \) compris entre \( 2 \) et \( k-1 \) l'ordre de \( C_{i+1} \) divise celui \( C_{i} \) . De plus l'ordre de \( C_{2} \) divise celui de \( C _{1} \) par définition de \( e \) et \( C _{1} \) .
Unicité ;
Pour \( n = 1 \) l'unicité est imédiate, supposons \( n \geq 2 \) et l'hypothèse de récurrence. Soient \( G \) un groupe abélien fini d'ordre fini \( n \) et \[ G = C_{1} \oplus \cdots \oplus C_{k} = C'_{1} \oplus \cdots \oplus C_{l}' \] deux décompositions de \( G \) en sommes directs de sous groupe cyclique dont les ordres \( (a_{1} , \ldots , a_{k} ) \) , \( ( a'_{1} , \ldots , a_{l}' ) \) vérifient les conditions du théorème. Soient \( x \) un générateur de \( C _{1} \) et \( ( y_{1 } , \ldots , y_{l} ) \) ses composantes dans la secondes décomposition. L'ordre de \( x \) est égal à l'exposant \( e \) de \( G \) donc il existe au moins un indice \( j_{0} \) tel que \( y_{j_{0}} \) est d'ordre \(e \) ( remarquons qu'alors , \( b_{1} = \cdots = b_{j_{0}} = e \) ) . En remplacant \( C_{j_{0}}' \) par \( C_{1} \) dans la seconde décomposition , la somme est alors direct et de l'égalité \( \displaystyle \bigoplus _{i}C_{i} = C_{1} \oplus \bigoplus _{j\neq j_{0}} C'_{j_{}} \) on en déduit en quotientant par \( C_{1} \) ; \[ \bigoplus _{i>1} C_{i} \simeq \bigoplus _{j\neq j_{0}}C_{j}' \] donc par hypothèse de récurrence : \( ( a_{2} , \ldots , a_{k} ) = ( b_{1} , \ldots , b_{j_{0}-1} , b_{j_{0}+1}, \ldots , b_{l} ) \) si bien que \( ( a_{1} , \ldots , a _{k} ) = ( b_{1} , \ldots , b_{l} ) \) . QED \( \square \)