Homologie et Cohomologie
Introduction et Définitions
L'Homologie est, en géométrie algébrique, une façon d'associer à une suite d'objets algébriques tels que les groupes abéliens à d'autres objets. Intuitivement, La motivation initiale pour définir les groupes D'Homologie était l'observation que deux formes peuvent être distingées en exiaminant leurs trous.
Homologie
Un complexe de chaines est la donnée d'une suite de groupes abéliens ( ou plus généralement d'une catégorie abélienne ) \( M_{i} \) , et d'une famille d'homomorphismes appelés , opérateurs de bord \( \partial_{i} : M_{i} \to M_{i-1} \) , telles que \( \partial_{i} \circ \partial_{i+1} = 0 \) . \[ \cdots \overset{\partial_{i-1}}{\longleftarrow} M_{i-1} \overset{\partial_{i}}{\longleftarrow} M_{i} \overset{\partial_{i+1}}{\longleftarrow} M_{i+1} \overset{\partial_{i+2}}{\longleftarrow} \cdots \]
Les éléments de \( M_{i} \) , s'appellent des chaines de degré \( i \) . Les éléments du noyau \( \text{Ker} \partial_{i} \) , s'appellent des cycles . Les éléments de l'image \( \text{I}\text{m}\, \partial_{i+1}\) , s'appellent des bords et on a : \(\text{I}\text{m}\, \partial_{i+1} \subset \text{Ker} \partial_{i}\) , ou tout bords est un cycle .
Les groupes d'homologie du complexe \( M_{*} \) , sont alors , par définition : \[ \boxed{ H_{i}( M_{*} , \partial_{*} ) := \text{Ker }\partial_{i} \, / \, \text{Im } \, \partial_{i+1}. } \]
Cohmologie
La cohomologie peut se voir comme une notion duale à l'homologie, car nous pouvons par exemple considérer des fonctions sur les chaines pour en donner des cochaines.
Un complexe de cochaine est la donnée d'une suite de groupes abéliens ( ou plus généralement d'une catégorie abélienne \( M^{i} \) , t d'une famille d'homomorhismes , appelés opérateurs de cobord \( \partial^{i} : M^{i} \rightarrow M^{i+1} \) , telles que : \( \partial^{i} \circ \partial^{i-1} = 0 \) . \[ \cdots \overset{\partial^{i-2}}{\longrightarrow} M^{i-1} \overset{\partial^{i-1}}{\longrightarrow} M^{i} \overset{\partial^{i}}{\longrightarrow} M^{i+1} \overset{\partial^{i+1}}{\longrightarrow} \cdots \]
Les éléments de \( M^{i} \) s'appelle des cochaînes de degré \( i \) . Les éléments du noyau \( \text{Ker }\partial^{i} \) , s'appellent des cocycles . Et Les éléments de l'image \( \text{Im } \, \partial ^{i-1} \) , s'appellent des cobords . \( \text{Im } \, \partial^{i-1} \subset \text{Ker }\partial^{i} \) , ou autrement dit : tout cobord est un cocyle .
Les groupes de cohomologie du complexe \( M^{*} \) , sont alors , par définition : \[ \boxed{ H^{i}( M^{*} , \partial^{*} ) := \text{Ker }\partial^{i} \, / \, \text{Im } \, \partial^{i-1}. } \]
- - On remarque que si \( M^{*} \) , est un complexe de cochaînes, on obtient un complexe de chaînes en posant : \( M_{i} \equiv M^{-i} . \) Mais les deux terminologies exîstent tout de même car il est désagréable de modifier l'indexation .
- - Et par exemple si \( (M_{*} , \partial _{*} ) \) est un complexe de chaines singulier de groupes abéliens et soit \( A \) un groupe abélien , posons \( M^{i} := \text{Hom}(M_{i} , A ) \) et \( \partial^{i} \equiv (\partial_{i+1})^{*} \) , dans ce cas la \( ( M^{*} , \partial ^{*} ) \) est un complexe de cochaines, c'est ce que l'on appelle l'cohomologie singulière .
- - Si \( f : X \longrightarrow Y \) est un application continue, elle détermine un homomorphisme de poussé en avant \( f_{*} : H_{i}(X) \longrightarrow H_{i}(Y) \) pour l'homologie et un homomorphisme de tiré en arrière \( f^{*} : H^{i}(Y) \longrightarrow H^{i}(X) \) pour la cohomologie. Cela fait de la cohomologie un foncteur contravariant d'espace topologique dans les groupes abélien.
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